Una pregunta muy interesante


Este martes, Samuel, un alumno de 4º, me hizo en clase una pregunta muy interesante. Tan interesante que incluso sirve para entender qué es el movimiento relativo. Recordando la demostración que hice en clase, en la que dos pelotas del mismo tamaño pero con distinta masa, sorprendentemente caen a la vez, con la misma velocidad, se preguntaba si al lanzar hacia abajo dos objetos a la vez, uno de ellos dejado caer (sin velocidad inicial) y el otro empujado (con velocidad inicial), caerían manteniendo siempre la misma distancia entre ellos.

Nosotros ya habíamos visto en clase la gráfica que describe cómo cambia la posición de un cuerpo que cae hacia el suelo, con el tiempo: era la de una parábola. Y la ecuación que la describe es una ecuación cuadrática (ellos mismos lo recordaron de matemáticas), la ecuación de la posición del MRUA (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado):
X = X0 + V0 t + 1/2 a t2
La posición final es igual a la posición inicial, más lo que gana (o pierde) por su velocidad inicial, más lo que gana (o pierde) por su aceleración (por ganar o perder velocidad) con el tiempo.

teniendo en cuenta que la aceleración es g = – 9,8 m/s2:

X = X0 + V0 t – 1/2 · 9,8 t2

Me hubiera gustado tener un proyector en el aula, y utilizar una presentación similar a esta:

Y enseñarles el vídeo del Apolo 15, para que vieran qué pasa en ausencia de aire, cuando se dejan caer a la vez un martillo y una pluma:

[Youtube=http://www.youtube.com/watch?v=L6CZ2F6ms44]

Si pudiera, si estuviera en un centro público, el próximo día de clase me los llevaría al patio. Le pediría a dos voluntarios que subieran conmigo a la terraza del colegio y el resto estarían abajo observando lo que ocurre cuando soltamos las pelotas, una sin velocidad y otra con velocidad negativa (hacia abajo) para luego que los de abajo nos contaran qué han visto. Es más, pediría a uno de los alumnos que se quedara abajo que lo grabara en vídeo.

Pero sin hacer esto, utilizando sólo las matemáticas, podemos predecir y explicar qué ocurrirá. ESTO ES LO INCREÍBLE DE LA FÍSICA Y LAS MATEMÁTICAS.

Para empezar, lo primero que hay que saber es, qué es lo que buscamos: qué expresión matemática describe la diferencia entre las posiciones de los dos cuerpos que caen.

¿Alguien que no sepa la respuesta se anima a resolverlo?

8 comentarios en “Una pregunta muy interesante”

  1. Bueno, echando un par de cuentas, me sale que la distancia que hay entre ellas es de V0*t. Ya que teniendo para ambos cuerpos la misma ecuación del movimiento, en uno de ellos V0=0, y al restarlos, se anulan los términos exceptuando el término V0*t que tenga el cuerpo al que le hayamos dado una velocidad inicial. Por ello, los cuerpos se alejan una distancia que crece de forma lineal con el tiempo. Al menos eso he sacado a ojo…

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  2. Ojo Espoilers:

    X = X0 + V0·t + 1/2 a·t^2 (Lo siento, pero no se poner subíndices ni potencias)
    Para el cuerpo 1 (sin velocidad inicial):
    X1=-1/2 g·t^2
    Para el cuerpo 2 (con velocidad inicial V0):
    X2=V0·t – 1/2 g·t^2

    La distancia entre los cuerpos vendrá dada por:
    X2-X1= V0·t

    También podría hacerse considerando que la pelota 1 «ve» a la pelota 2 alejarse con velocidad constante, (porque ambas sufren de la misma aceleración). Entonces, la pelota 1 «ve» que la pelota 2 se encuentra a un distancia de V0·t . Lo de «ver» no queda muy físico, pero así fue como me empezaron a explicar a mí los sistemas de referencia :D.

    Por cierto, un pequeño problemilla que me pareció majete:
    Se dispara un proyectil de masa m de manera uqe su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima.
    Si se supone que el viento actúa horizontalmente sobre el proyectil, frenándolo con un fuerza constante F=m·g/4, determina el ángulo del disparo.

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  3. Seguro que con vuestros comentarios habréis ayudado a mis alumnos. (A ver si se pasan por aquí a dar su opinión… me haría mucha ilusión leerles).

    Ellos aún no han estudiado movimientos de dos dimensiones. En este curso sólo verán movimientos rectilíneos, aplicados a una única dimensión: o la vertical, o la horizontal. Por eso no verán el tiro oblicuo, y tampoco hemos podido ver en profundidad el movimiento circular: únicamente la ecuación que describe cómo varía el ángulo con el tiempo, para que vieran que es homóloga a la del movimiento rectilíneo uniforme.

    Así que si alguno de mis alumnos lee el comentario de Fisilosofo: apuntaros este problema para el año que viene: con lo que estudiéis en primero de bachillerato sí podréis resolverlo.

    Bueno, ahora, con todo lo que os han contado Noxbru y Fisilosofo, sabréis que lo que buscábamos, la expresión matemática que describe la diferencia entre las posiciones de las dos pelotas que caen es:
    X2 – X1
    (ó también sería: X1 – X2, pero elijamos lo que elijamos, debemos tener en cuenta qué estamos restando, para entender luego el significado del resultado)

    Voy a describir el proceso, paso a paso, esperando que no os perdáis por el camino, y que recordéis lo que habéis visto en clase.

    Las dos pelotas caen desde la misma posición X0. (Por ejemplo X0 = 13 m , la altura de una terraza.) De forma que no debemos olvidarlo en la ecuación.

    Utilizando la ecuación de la posición con el tiempo del MRUA:
    X = X0 + V0·t + 1/2 a·t2

    Para la pelota 1, por ejemplo la verde claro, (V0 = 0):
    X1= X0 – 1/2 g · t2

    Y para la pelota 2, la verde oscuro, (con velocidad inicial negativa, porque lo empujamos hacia abajo, que llamaremos -V0 (podrían ser – 2 m/s, por ejemplo):
    X2= X0 – V0·t – 1/2 g·t2

    (Veréis que he puesto t en lugar de (t – t0), porque t0=0: el cronómetro marca cero cuando soltamos los cuerpos, y empieza a contar, para los dos cuerpos a la vez.)

    Luego lo que buscábamos, la distancia entre los dos cuerpos que caen, sería:

    X2 – X1
    = X0 – V0·t – 1/2 g·t2 -(X0 – 1/2 g · t2 )

    = X0 – V0·t – 1/2 g·t2 – X0 + 1/2 g · t2

    = – V0·t

    Fisilósofo se había olvidado de X0 en las ecuaciones, porque de antemano ya sabía que se anularían al restar 😉 (O porque había elegido como sistema de referencia la terraza… ya nos dirá)

    Bueno, entonces hemos llegado a que la distancia entre las dos pelotas, en cada momento t, es igual a » – V0·t »

    Lo importante, ahora, es saber ¿Qué significa esto? ¿Porqué es una distancia negativa?

    Para que el resultado de una resta me de algo negativo, lo que debe ocurrir es que a algo pequeño, le resto algo más grande, por ejemplo: 3 – 5= -2

    Luego X2 – X1 es negativa porque X2 es más pequeño que X1. ¡Claro! Si a la pelota 2, verde oscuro, la empujo para abajo, su altura es menor, en cada momento, que la de la pelota 1, verde claro, que sólo la había dejado caer, por su propio peso.

    Vale, entonces todo es coherente. Como os había dicho al principio, la distancia que las separa también es = X1 – X2

    X1 – X2 = V0·t

    Personalmente, prefiero esta última definición, porque es positiva (X1 mayor que X2), y parece que se entiende mejor.

    Pero, ¿qué significa que la distancia entre los cuerpos, en cada momento, sea V0·t?

    Para empezar depende del tiempo: luego no es constante: no se separan siempre con la misma distancia. La distancia que las separa depende del tiempo, depende del momento en el que la midamos.

    ¿Y de qué más depende? De la velocidad con la que hayamos empujado a la pelota 2, verde oscuro.

    Lo curioso de todo esto es que, desde el patio, se ve cómo las dos pelotas se acercan cada vez más deprisa al suelo (tienen un MRUA). Sin embargo, si en lugar de ser personas en un patio, fuéramos hormigas subidas en la pelota 1 verde claro, la que hemos dejado caer, veríamos a la pelota verde oscuro separarse de nosotros con un MRU X = V0·t (porque X0=0).

    La posición desde la que observamos el movimiento hace que cambie el sistema de referencia y como vimos al principio del tema, el sistema de referencia es crucial para determinar el tipo de movimiento de un objeto. Recordad cuando os pregunté en clase ¿Me estoy moviendo ahora mismo? Y todos me dijisteis que no. Y cuando os pregunté ¿Si estuvierais en el Sol, diríais lo mismo? Y vimos que entonces pensaríais que me estoy moviendo como si recorriera un muelle circular. Aquí pasa exactamente lo mismo.

    ¿Dudas? ¿Opiniones?

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