Lamento de un matemático


Imprimidlo y regaládselo a vuestro compañero de matemáticas, pero también al de física y química. Podría ser muy interesante para el compañero que siempre se queja en el claustro de lo poco que estudian sus alumnos. Un chispazo para cualquier compañero que haya perdido la ilusión, que haya dejado de disfrutar en sus clases. Lo que Paul nos cuenta podría aplicarse en cualquier otra disciplina. Para vuestro deleite y para el debate:

21 comentarios en “Lamento de un matemático”

  1. He dado matemáticas durante años. Cuando les decía que era un arte, me miraban raro. Cuando me decían ¿Con qué método lo hago?, y les comentaba: «Con el que queráis, de todo lo que hemos trabajado. El que os haga sentir más cómodos y provoque menos errores», me miraban aún más raro.
    Cuando les decía que en matemáticas importaba pensar, crear, tratarlas como un juego, con reglas fijas pero con plasticidad a la hora de aplicarlas… vamos, era cambiarles la mente y eso les daba miedo inicialmente. Luego, aprendían matemáticas.
    Como no cambiemos el modo de percibir la matemática y, por tanto, el modo de transmitirla, seguirá siendo esa gran desconocida del mundo de las artes y las ciencias. Hay aún mucho profesorado que se empeña en cuadricularlas y eso siempre genera rechazo.

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    • Gracias Isabel. Es muy reconfortante para mi leer tu comentario. Cuentas precisamente lo que ayer no supe transmitir en el seminario. El modo en el que entendemos las matemáticas y la ciencia impregna todo lo que hacemos con nuestros alumnos, porque no somos imparciales, no es posible. Cuando enseñamos y cuando evaluamos les decimos qué significa aprender y qué significa ser más inteligente, queramos o no, y sobretodo cuando no lo hacemos explícito.

      Ayer un compañero comentaba «en física y química, o te lo sabes o no te lo sabes, no hay más». No tuve ocasión de contestar a este comentario porque allí éramos muchos. Pero en ese comentario estaba la clave de casi todos los dilemas que se plantearán más adelante.

      Un beso fuerte.

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    • Efectivamnete una reflexión de interés para cualquier asignatura. Los profesores deberíamos estar en el bando de los alumnos y no en el del currículo/administración. Eso supone adquirir un compromiso con ellos, no tanto con el currículo. Desde esta posición tal vez seríamos capaces de diseñar mejores currículos. Gracias por aportarnos esta y otras tantas ocasiones para reflexionar.

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      • Exacto. Los currículos son como las leyes, siempre van por detrás de nuestras necesidades. Los profesores debemos conocer el currículo, pero también adelantarnos a él para poder dar a nuestros alumnos lo que necesitan. Por suerte hay muchas ayudas, muchas pistas, sólo tenemos que estar atentos para encontrar a compañeros que quieran mejorar las cosas, con los que podemos colaborar para llegar más lejos. En las redes sociales, en twitter, siempre encuentro a mi claustro esté en bolsa o trabajando, siempre hay con quien compartir ideas y proyectos. Estoy aprendiendo mucho gracias a ti y a Raúl con los dos seminarios de Castellón, pero también con Pilar y Miguel, dos compañeros del Serra con los que sigo en contacto. Y con Novadors, ya nos toca hacer una reunión, tengo muchas ganas de veros. La mejor medicina es buscar lo que necesitas y luchar por conseguir tus sueños.

        Gracias a ti Sergio, que me abres nuevas puertas y me das oportunidades de ensueño.
        Un abrazo fuerte.

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    • Así es, Antonio: es la actitud, es fluir en las aulas como dice Jordi Adell, y como comentas la actitud que tenemos en nuestras aulas es la que tenemos en nuestra vida, sin duda. ¡Genial! Gracias Antonio 🙂 Me encanta saber que continuarás la cadena, para que este artículo llegue a manos de más y más gente.

      Un abrazo 😉

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    • Muchas gracias por compartirla y dejarla por aquí también. Cualquiera que lea a Lockhart y le parezca interesante, disfrutará con tu artículo y con Dan Meyer. Me quedo con: «en la vida real hay problemas reales, no formulaciones de problemas».
      Gracias Carlos 🙂

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  4. Hola Aída, sé que no te lo esperas, pero no lo comparto en absoluto. Empecé a leerlo con mucha ilusión pero prácticamente en cada página me encuentro con un choque frontal con lo que dice… Sí que creo que falla la Educación Matemática, pero no creo que lo haga por las razones que él expone y menos aún que lo que plantea sea la solución, especialmente en Primaria y Secundaria.

    Sólo por poner algunos ejemplos:
    a) En la página 738 dice «introducir auténticos problemas o investigaciones en las clases desde las edades más tempranas…». CIERTO… Pero qué gran palo cuando leo lo que el considera un buen problema!!! Se equivoca de plano… Eso me motiva a mí (que soy un friki de las mates) y al alumnado con cierto gusto/capacidad por lo abstracto, pero no al alumnado de Primaria (ni de lejos!, ellos deben MANIPULAR) o Secundaria… La lejanía de la matemática se manifiesta en la «abstracción» que él plantea de los problemas a resolver. Los problemas deben ser REALES.
    b) El dice continuamente que la Matemática es un arte…Sí, para mí también, pero amigo, baja de las nubes… el arte de resolver PROBLEMAS REALES. Que sí, que en Bachillerato y Universidad pueden cobrar cada vez más importancia los problemas puramente abstractos (que me encantan) pero en Primaria y Secundaria deben ser REALES.
    c) Acierta por completo cuando dice que un problema es un problema cuando no sólo se desconoce la solución, sino el método para resolverlo… POR ESO NO SE PUEDE TRABAJAR POR TEMAS!!! ¿Qué habrá que usar en el tema de ecuaciones? Pues ecuaciones… Y de ahí la importancia de plantear el curso (en la medida de lo posible) con PBL y PjBL. Ahí sí que está la REVOLUCIÓN y no sólo en Matemáticas. Cuando seamos conscientes y capaces de hacer eso, habremos logrado avanzar en esto que nos ocupa…
    d) El autor comete el grandísimo error de pensar que es incorrecto ver la Matemática como la base de la Ciencia y de la Tecnología… Y lo remito precisamente a lo que él recurre constantemente: LA HISTORIA!!! Pues sí, es eso, una gran herramienta, de hecho, no es una herramienta, es -LA- herramienta. El instrumento más potente jamás inventado… Y sí, por supuesto, además es un arte… Pero si hacemos caso a lo que él plantea es el arte de lo abstracto (y descontextualizado), es decir, un instrumento perfecto para aumentar el rechazo y miedo a las matemáticas, especialmente en Primaria y Secundaria… a su sentido más diabólicamente elitista. Fíjate, yo creo que el problema real de la Educación Matemática es que siempre se ha dado más peso a la segunda idea… porque eso, cuando se pervierte (que es lo que ha pasado), provoca que se confunda matemática con repetición de ejercicios descontextualizados… De hecho, al contrario de lo que él señala, no creo que el problema sea que el alumnado recibe una educación matemática que se supone que es útil… Ni locos!!! Ocurre lo contrario, que es muy abstracta y descontextualizada… justo lo que el propone como solución es la fuente de los problemas!!!. Ahí va eso… Madre mía!!!
    Un ejemplo perfecto lo plantea en la pág. 748: “Supongamos que me dan la suma y la diferencia de dos números. ¿Cómo puedo averiguar cuánto valen los números? Aquí tenemos una pregunta simple y elegante, y no necesita de ningún esfuerzo para hacerla atractiva”… jajajajjajaja, ¿este hombre dónde demonios ha dado clase? ¿Y eso motiva al alumnado? Bufff, cosas como esta me hacen pensar que la Educación Matemática no va a cambiar en la VIDA!!! Si hay profesores que piensan que eso es innovador… Madre mía!!! No hay nada que hacer!!!! Que sí, que eso a mí me gusta, y que al alumnado se lo podemos dar… pero que eso sea un buen ejemplo!!! jajajajaja
    e) Dice en la pág. 747 que “el alumnado no está aprendiendo nada ahora”, pues sí… la verdad es que ahora lo que se estila es aplicar TIC a la resolución de ejercicios… O mejor, vamos a plantear problemas (que en realidad no lo son ya que sabemos qué herramienta usar… por lo tanto son actividades donde aplicar una rutina… pero bueno, ya es algo… Es el primer paso…
    f) Resumiendo, él afirma en la página 749: “El problema principal de las matemáticas del colegio es que no hay problemas”… Uyyyy, Casi!!! Lo correcto sería decir: “El problema principal de las matemáticas del colegio es que no hay problemas REALES”
    g) Hay muchas más cosas que añadir pero la niña me está mirando con una carita… Me la llevo al parque a correr… Ya sabes que tiene sólo dos añitos!!

    Un saludo a todos y siento haber escrito esto tan apresuradamente!!! … pero es que si no lo hago exploto!! ;o)
    Gracias Aída!!

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    • Gracias Carlos. Comentas algunas ideas que me vinieron a la cabeza cuando leía a Paul, así que no me sorprede en absoluto, y más aún de ti. Las matemáticas, igual que la ciencia y cualquier otra materia, tienen que ser útiles y tener sentido para quien las estudia. Nuestro objetivo es conseguir que esto ocurra. Y una vez ocurra, quizá tengamos más frikis que disfruten con el pensamiento abstracto. Dando esto por supuesto, la lectura que yo he echo de este artículo es distinta a la tuya, y me alegro de que así sea, porque me ayudas a pensar mejor en este tema que me interesa muchísimo. Ya sabes que por tu culpa soy una friki del PBL y busco ideas para PBL en todo lo que hago.

      Cuando leía a Paul me acordaba de cuando una clase de alumnos de secundaria descubrían que cabían cuatro de ellos bailando dentro de un folio de papel. Yo les dije que era posible, ellos que ni de coña, sacaron folios y tijeras y al final conseguimos hacer un agujero en un folio en el que bailaron cuatro alumnos. Estábamos haciendo matemáticas, porque estábamos jugando con las ideas de la geometría y la topología, y no estábamos resolviendo un problema real de la sociedad, ni siquiera trascendental, era un juego, un enigma que les alucinaba, pero eso sí: un enigma que podían manipular, tocar y cortar. No es el tipo de matemáticas que propone Paul, pero creo que sí se acerca. Varios alumnos, de distintas clases y niveles en los que propuse este enigma, cayeron en la misma cuenta, haciéndome preguntas parecidas: ¿podríamos hacer un agujero en el que cupiera todo el instituto? ¿Y si el papel fuera de un material especial que no se rompiera? Y llegaron a expresar, con sus palabras, que el área era la suma de infinitas rectas. Son ideas abstractas, no resuelven ningún problema científico real, y son matemáticas. Este tipo de matemáticas son muy divertidas para ellos, porque son un juego. Pero como todo, si abusáramos de este tipo de juegos, también les aburriríamos y llegarían a pensar que las matemáticas no sirven para nada útil: qué flaco favor les estaríamos haciendo.

      Yo creo que en la suma de distintos puntos de vista, aplicados con buen criterio (desde luego, primaria y secundaria deben manipular para aprender), está la posibilidad de que cada alumno disfrute con algo que le guste mientras aprende. Del mismo modo que distintas dinámicas de aula permiten a los alumnos aprender mejor, porque aprenden a aprender en distintas situaciones y a adaptarse; distintos enfoques de nuestra asignatura les dan una visión más amplia y completa de lo que estudian.

      Seguiré pensando en ello. Mil gracias por tu comentario, porque en lo que dices está la clave.

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  5. Es muy importante tener sueños, sin plantearnos si son o no inalcanzables… Lo verdaderamente maravilloso de los sueños es el potentísimo motor que son para avanzar hacia ellos. Si no hay sueños… no sé si llegaremos lejos.

    Yo creo que no hay nada contradictorio en lo que dice Carlos y lo que plante Paul, son dos caras del icosaedro (y es que no se me ocurre un poliedro más grande, aparte de la esfera jijiji)

    Creo que aprender a hacer cosas, parecidas a la realidad, es muy importante, y es una forma de instar al aprendizaje de ciertas habilidades, y posiblemente a algunas personas les ayude a atrapar para sí ideas abstractas. Esto es lo que dice Carlos. Y decididamente, ahí tenemos una parte de las Matemáticas, en tanto que herramientas (y algunas capacidades relacionadas como la sistematización, la búsqueda de patrones, la organización de una estrategia…)

    Pero eso no son todas las Matemáticas. Hay otras Matemáticas, tan abstractas como la obra Miró, o la de Michael Nyman,y pensar que no están al alcance de los chicos y chicas, de la sociedad en general, es condescendiente. No creo que su abstracción sea el problema. El problema es afectivo: lo veo cada día en mi hijo de 9 años, cuyo pensamiento abstracto no encuentra sitio en la escuela. No hablemos ya de tratar de que sus compañeros tengan ocasión de desarrollarlo. ¿A quién le gusta hacer 25 divisiones por dos cifras una tarde soleada de invierno? A eso, y no a otra cosa, le llaman Matemáticas. Y a mí me duele como una puñalada en la boca del estómago…

    El problema (de verdad, lo digo como lo pienso) es que en este Estado en el que vivimos (y seguramente en otros) nadie debería enseñar aquello que no le apasiona… y mucho menos, aquello que no conoce en absoluto, aquello que no desea aprender. Creo que podríamos contar con los dedos de las manos de l@s profes tuiter@s (que espero no se enfaden conmigo) aquell@s maestr@s enamorados de las Matemáticas. No es sorprendente, son producto del mismo sistema que no muestra realmente las Matemáticas como lo que son, sino como lo que se piensa que puede ser accesible al populacho (y a uno o una misma)

    A modo de anécdota, yo pertenezco a esa generación que aprendió a manejar (sin entender) las bases de numeración con 9 años, y memorizó las estructuras algebraicas con 14 años. Mucho tiempo después, soy incapaz de nombrar adecuadamente a los Grupos, los Cuerpos o los Espacios Vectoriales, y me deja perpleja la barbaridad de tiempo y energía perdidos en memorizar algo tan sublime… Qué suerte tuve, porque mi pasión por las Matemáticas no se vió afectada más que en una aversión terrible a la terminología… Otros compañeros y compañeras escaparon de esa incomprensible asignatura llena de recetas, definiciones y símbolos diabólicos… y seguramente más de una será maestro o maestra de primaria, si hay con pasión por la lectura, o por la anatomía, o por la papiroflexia… pero no por las matemáticas…

    La limitación está en la forma en que se enseñan (con carácter general) las Matemáticas, no en la abstracción de las ideas o conceptos que se manejan, que son pocos y quedan enterrados bajo toneladas de práctica repetitiva de procedimientos y tácticas. Creo, y en esto estoy muy de acuerdo con Carlos, que un pequeño paso hacia la democratización de las matemáticas es enseñarlas de manera que el grado de abstracción no sea cerrado, y abordándolas desde contextos familiares, diversos, atractivos, desafiantes para el alumnado. La enorme ventaja del PjBL es que el trabajo del alumnado no se ve necesariamente parado por un techo invisible pero sólido (hay de muchos tipos: de papel, de bits, de carne y hueso)

    Pero es un pequeño paso hacia un objetivo más lejano. Desde mi punto de vista hacen falta varias generaciones de personas que hayan tenido ocasión de disfrutar, con profesores como Carlos, o como Paul, de la utilización del pensamiento lógico y de las herramientas matemáticas para que haya un cambio radical en la percepción social de esta Ciencia, para que deje de pertenecer al Monstruario infantil y juvenil…

    Llevo años ayudando a chicos y chicas con las Matemáticas… y mi trabajo fundamental ha sido decirles “Puedes mirar debajo de la cama, no hay nadie, y mucho menos un monstruo… ¡Ah! ¡Parece que hay una hormiga! Bueno, eso no creo que sea un problema para ti”… Nunca he podido enseñar Matemáticas, solo limpiar de inmundicias la lente por la que se las habían mostrado otros, y enseñarles que estaban a su alcance…

    Creo que de lo que propone Paul Lockhart hay que quitar la desesperación y el mesianismo. En clase hay que “plegarse” a lo que dice la Legalidad (que no es tanto pliegue) con creatividad y responsabilidad, y si uno o una piensa que el currículo debe cambiar en algunos aspectos, tratar de hacerse oir, argumentar, investigar, llenar el dossier de razones serias… utilizar los cauces que tenemos (que son pocos) para propiciar los cambios legislativos, y nuestra valentía y convencimiento para propiciar los cambios metodológicos.

    Y ya he pontificado un rato desde mi sillón verde. Ahora, a leer mi libro nuevo “La certeza absoluta y otras ficciones” que me está encantando.

    NB – Me impresionó tanto el “Lamento de un matemático” que le escribí un correo, tratando de saber como conciliaba él las exigencias curriculares al final de la secundaria con lo que propone que se debe hacer en la Escuela. De su respuesta destacaría dos cosas: 1. CONTESTÓ a mi e-mail. Y 2. Da clase a niños de 8 años, de 2ESO y de 2Bach, de forma libre (no hay exigencias por parte de la dirección de la escuela…) lo cuál es impresionante, y me hace creer en lo que dice.

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    • Hay un párrafo que creo que es clave para entender el mensaje de Paul. En la pág. 753 <> El está reivindicando la ausencia de lo que considera fundamental, y utiliza la hipérbole en sus argumentos, del mismo modo que empieza con la metáfora, para producir una reacción en el lector. Quiere transmitir varios mensajes y necesita herramientas para mantener despierto al lector.

      Este texto es brutal: mil gracias por hacérmelo llegar y por este estupendo comentario. Todo tiene sentido en su contexto, y nosotros no conocíamos el contexto de Paul: es muy interesante conocer la existencia de centros en los que no haya un currículo que seguir, como este que compartiste conmigo el otro día. Cambiando las reglas de juego, las posibilidades son otras.
      ¡Un besazo!

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  7. Es decir, no se trata de eliminar lo abstracto o la investigación pura (que repito que me encanta y que también lo hago en clase, pero no es la BASE del cambio ;o). Se trata de PRIORIZAR la utilidad, la aplicabilidad, la investigación aplicada, la interdisciplinariedad… Y, por cierto, ni de lejos es ésto lo que ocurre actualmente como comenta Paul, de hecho, ojo… creo que priorizar lo abstracto es lo que nos ha llevado a la ejecución de rutinas descontextualizadas…

    Creo que ésto lo resume muy bien: «Saber no es suficiente, debemos aplicar. Desear no es suficiente, debemos hacer». – Johann W. Von Goethe.

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    • Estoy totalmente de acuerdo. Y «Saber no es suficiente, debemos aplicar» no implica aplicar sin saber lo que se está aplicando: al contrario. Por eso me tiene tan enganchada el PBL, porque con PBL desde la aplicación se produce la necesidad de saber, y se aprenden conceptos en la medida en la que se necesitan, que es el proceso más natural para aprender. Precisamente, en el mensaje de Paul lo que percibo es la crítica a hacer que los alumnos reproduzcan procesos sin pretender que entiendan lo que están haciendo, más que una crítica a las matemáticas aplicadas. Quizá se pueda llegar al sistema que él critica desde las matemáticas aplicadas mal practicadas. No lo sé. Probablemente su contexto sea muy distinto al nuestro y parte de premisas que no nos cuenta, que da por supuestas, y que si las conociéramos nos ayudarían a entender mejor sus argumentos, como por ejemplo que trabaja en un centro con libertad de cátedra, sin las restricciones del currículo.

      Creo que lo que quiere es hacer una crítica a las clases de matemáticas en las que memorizas el cuadrado de la suma y lo aplicas sin entender nada, y sin tener ninguna necesidad. Y lo digo porque estas son las clases de matemáticas a las que han asistido todos mis alumnos de repaso, mis hermanas, mis primos… yo misma las he sufrido. No creo que Paul se refiera a matemáticas en el contexto PBL, ni tampoco a las matemáticas que compartís en abriendolaescuela.org (por cierto, me encanta ver cómo evoluciona el proyecto :-)). Creo que Paul habla de esa forma de enseñar matemáticas a la que María hace referencia, que es la misma que pretendían que yo siguiera en la sustitución que hice en un centro concertado el año pasado. En aquel centro aprender matemáticas era aprender fórmulas y sustituir valores, sin entender nada. Es más, si mis alumnos entendían algo y no se ceñían al proceso que dijera la profesora que había que seguir (el que me dijera a mi la jefa de estudios que yo debía hacerles seguir), ¡tenía que suspenderlos! aunque el proceso de resolución fuera incluso más creativo y divertido que «el que proponía la profesora». Y he dicho que lo pretendían, porque siendo así, aguanté sólo una semana.

      Puede que la pasión de Paul por las matemáticas puras no nos deje ver esta crítica, pero creo que es una crítica necesaria.

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  8. Pienso en la física al leer el artículo. Me preocupa que muchos alumnos sigan saliendo de los institutos pensando que la física es aprenderse una fórmulas y aplicarlas como si fueran recetas de cocina. Está claro que el currículo es el que es, pero eso no quiere decir que tengamos que insistir con problemas tipo todo el rato. Creo que hay que lanzar preguntas a los alumnos que puedan responder y seguramente muchos de ellos descubrirán que la belleza de la física no está en la respuesta, sino en el camino para llegar a ella. Dado que no tenemos en nuestras manos cambiar el currículo a corto plazo si podemos insistir en trabajar más la introducción de los conceptos con cuestiones abiertas y en la propuesta de pequeños experimentos que les hagan hacer hipótesis. A mi me encanta un libro lleno de conceptos: Física conceptual de Hewitt y leer a un maestro: Rafa Garcia Molina (http://bohr.inf.um.es/miembros/rgm/).
    gual el comentario se me ha desviado un poco de lo que ha sido la lectura del texto, pero me ha hecho reflexionar sobre la enseñanza de la física.

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    • Gracias Aureli. Me alegra mucho leer tu comentario. Rafa García Molina es un crack, y la ciencia recreativa un deleite que generalmente no compartimos con nuestros alumnos. La buena noticia es que podemos hacer que esto cambie 😉 Un abrazo.

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  9. De verdad, no imagináis lo riquísimo que es este debate para mí…

    Aida, Carlos, sois la pera limonera… Creo que, afortunadamente, tenemos mucho más en común en nuestro planteamiento que aquello que nos diferencia.

    Sin ánimo de polemizar, creo que el peligro del enfoque abstracto es no contextualizarlo adecuadamente. La abstracción no está reñida con la realidad. La memorización de conceptos sí. Aunque los necesites. El lastre de un planteamiento «abstractivista» fracasado no puede impedirnos ver lo aprovechable que tenga para nuestro alumnado.

    Como todo en esta vida, la puesta en práctica de un planteamiento teórico puede hacerse bien o mal, y cualquier punto intermedio. Y, como dices, Aida, PjBL mal llevado puede ser tremendo…

    Besos a tod@s, y ¡¡¡gracias por lo que aprendo de vosotr@s!!!

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    • María, Carlos y Aureli: después de unos días pensando en vuestros comentarios, y recordando lo que leí de Ramón Grau, vuelvo a la conclusión a la que llegué después de conocer el PBL.

      Es cierto que leyendo a Lockhart uno se aleja de esta meta imprescindible: debemos educar ciudadanos críticos y activos.

      Debemos ofrecer contextos, proyectos, problemas… que generen necesidad de conocimiento, pero también una respuesta activa de los alumnos, que los alumnos puedan intervenir activamente en solucionar problemas reales, que su trabajo tenga una repercusión en la sociedad.

      Todo esto queda muy lejos de memorizar ecuaciones y procedimientos para resolver actividades con enunciados inertes. Pero si nos centramos únicamente en que nuestros alumnos aprendan y disfruten del conocimiento, fácilmente nos podríamos alejar de este objetivo. A mi me ocurre.

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  11. La verdad es que no me siento muy capaz de aportar al debate. Y mucho ya está dicho.

    A mí, el diagnóstico del artículo me ha gustado. El tratamiento menos. No digo que a él no le funcione, y menos después de saber que lo plantea desde su quehacer. Pero sí creo que hay tipos de usuarios que percibo que no caben en su enfoque, en la línea del comentario de Carlos Morales.

    Mi problema principal es que todo el artículo gira alrededor de la materia y no tanto del usuario de la materia. De los usuarios, más bien, que habrá tipologías muy variadas.

    ¿Sabéis alguien si algo escrito sobre eso, sobre tipos de usuarios de las matemáticas e influencia que eso tiene en la forma de aprendizaje?

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